Ciąg Fibonacciego Wzór – Definicja, Rekurencja, Przykłady

Ciąg Fibonacciego to nieskończony ciąg liczb, w którym każdy wyraz powstaje jako suma dwóch poprzednich, zaczynając od F1=1 i F2=1. Pierwsze dziesięć wyrazów to 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Opisuje go wzór rekurencyjny Fn = Fn-1 + Fn-2, a także równoważny wzór jawny Bineta, oparty na złotej liczbie φ ≈ 1,6180339887. Stosunek kolejnych wyrazów ciągu zbliża się właśnie do tej wartości. Ciąg ten po raz pierwszy opisał w 1202 roku Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, w swoim dziele Liber Abaci. Jego wzorce znajdują zastosowanie nie tylko w matematyce i informatyce, gdzie pomagają analizować złożoność rekurencji, lecz także w przyrodzie, na przykład w ułożeniu spirali w słonecznikach i szyszkach.

Czym jest ciąg Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego to nieskończony zbiór liczb naturalnych, w którym każdy następny element powstaje przez dodanie dwóch poprzednich. Pierwsze dwa wyrazy przyjmują zwykle wartości 1 i 1 (choć zdarza się też wersja zaczynająca się od 0 i 1). Nazwa tego ciągu pochodzi od włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, znanego jako Fibonacci, który opisał go w swoim dziele „Liber Abaci” z 1202 roku, wykorzystując go do rozwiązania problemu rozmnażania królików.

Kolejne liczby powstają w prosty sposób: po 1 i 1 następuje 2, później 3, 5, 8 i dalej, ciąg rośnie bez końca. Jego tempo wzrostu jest wykładnicze, a stosunek dwóch kolejnych wyrazów coraz bardziej zbliża się do tzw. złotej liczby, wynoszącej około 1,618.

Pokazać ten ciąg można na dwa sposoby:

• Za pomocą wzoru rekurencyjnego, który odwołuje się do wcześniejszych elementów,
• Za pomocą wzoru jawnego, zwanego wzorem Bineta, dzięki któremu można szybko wyliczyć dowolny wyraz bez konieczności znajomości poprzednich.

Zastosowania ciągu Fibonacciego są bardzo różnorodne. Znajduje on miejsce zarówno w matematyce teoretycznej i informatyce, jak i w opisie naturalnych wzorców, które często pojawiają się w przyrodzie.

Jakie są pierwsze dziesięć wyrazów ciągu Fibonacciego?

Pierwsze dziesięć liczb w ciągu Fibonacciego (przyjmując, że F1=1, F2=1) to: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Każdy nowy wyraz powstaje poprzez dodanie dwóch poprzednich. Na przykład siódma liczba, 13, to suma piątej (5) oraz szóstej (8).

Z kolei dziesiąty wyraz, wynoszący 55, uzyskujemy, łącząc ósmą liczbę 21 z dziewiątą 34. Inna wersja ciągu, rozpoczynająca się od zera (F0=0, F1=1), wygląda prawie identycznie, z tym że poprzedza ją zero: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Obie metody są matematycznie równoważne, różnią się jedynie sposobem numeracji, podczas gdy zasada generowania ciągu pozostaje ta sama. Już w pierwszych dziesięciu liczbach widać, że ciąg przyspiesza swoją wartość. Z każdym kolejnym elementem tempo wzrostu zbliża się do mnożenia przez stałą wynoszącą około 1,618.

Temat	Najważniejsze informacje
Czym jest ciąg Fibonacciego?	Ciąg liczb naturalnych zaczynający się zwykle od 1 i 1, gdzie każdy kolejny element jest sumą dwóch poprzednich. Nazwa pochodzi od matematyka Leonarda z Pizy (Fibonacciego). Tempo wzrostu jest wykładnicze, a stosunek kolejnych liczb zbliża się do złotej liczby (~1,618).
Podstawowy wzór na ciąg Fibonacciego	Rekurencyjny wzór: Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ dla n≥3 z F₁=1 i F₂=1. Istnieje także wzór jawny (wzór Bineta) umożliwiający szybkie wyliczenie dowolnego wyrazu bez iteracji.
Obliczanie kolejnych wyrazów krok po kroku	Kolejne liczby powstają przez dodanie dwóch ostatnich elementów, np. F₁=1, F₂=1, F₃=2, …, F₁₀=55, F₁₅=610, F₂₀=6765. Metoda prosta i efektywna, analogiczna do wzoru rekurencyjnego.
Dowód wzoru na ciąg Fibonacciego (indukcja)	Dowód indukcyjny wzoru Bineta polega na weryfikacji bazowych przypadków n=1 i n=2 oraz pokazaniu, że jeśli wzór jest prawdziwy dla n i n-1, to także dla n+1. Kluczowe jest wykorzystanie własności złotej liczby (φ) i jej sprzężenia (ψ), spełniających x²=x+1
Najważniejsze własności matematyczne	Suma pierwszych n elementów: F(n+2)-1. Wzory podzielności: co 3-ci wyraz jest parzysty, co 4-ty dzieli się przez 3, co 5-ty zawiera czynnik 5. NWD(Fₘ, Fₙ) = F_{NWD(m,n)}. Ciąg rośnie szybko, powiązany ze złotą liczbą.
Praktyczne zastosowania	Informatyka: testowanie algorytmów rekurencyjnych, struktury danych, przeszukiwanie. Natura: spiralne ułożenie łusek i nasion. Finanse: zniesienia Fibonacciego w analizie rynkowej. Sztuka i architektura: elementy złotej proporcji dla estetycznej harmonii.

Jaki jest podstawowy wzór na ciąg Fibonacciego?

Podstawowa zależność definiująca ciąg Fibonacciego to wzór rekurencyjny: F_n = F_n-1 + F_n-2 dla n ≥ 3. Pierwsze dwa elementy to F₁ = 1 oraz F₂ = 1, co oznacza, że każdy następny wyraz powstaje przez dodanie dwóch wcześniejszych. Choć definicja jest nieskomplikowana, wymaga wcześniejszego obliczenia wszystkich poprzednich liczb.

Obok wzoru rekurencyjnego istnieje także wzór jawny, zwany wzorem Bineta. Umożliwia on wyznaczenie dowolnego wyrazu ciągu bez konieczności iteracji przez wcześniejsze elementy. Wzór ten bazuje na złotej liczbie oraz jej algebraicznym sprzężeniu, co sprawia, że obliczenia są szybkie i bezpośrednie.

Obie metody prowadzą do tych samych wartości. Na przykład dla n = 10 otrzymujemy wynik 55, niezależnie od wybranego sposobu obliczeń.

W praktyce wybór formuły zależy od potrzeb,

• Rekurencja jest intuicyjna, gdy generujemy ciąg po kolei,
• Wzór jawny lepiej sprawdza się przy szybkim uzyskaniu konkretnego, nawet bardzo oddalonego, wyrazu ciągu.

Jak definiuje się ciąg Fibonacciego za pomocą wzoru rekurencyjnego?

Definicja rekurencyjna ciągu Fibonacciego zaczyna się od dwóch podstawowych wartości: F₁ = 1 oraz F₂ = 1. Dla każdego n ≥ 3 kolejne wyrazy wyznacza się ze wzoru F_n = F_n-1 + F_n-2, co oznacza konieczność znajomości dwóch poprzednich elementów, by obliczyć następny. Przykładowo, nie da się bezpośrednio wyliczyć F₆ bez uprzedniego ustalenia wartości F₄ i F₅.

Praktyczne zastosowanie tej reguły wygląda następująco:

• F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3,
• F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5,
• F₆ = F₅ + F₄ = 5 + 3 = 8.

Tak sformułowana definicja jest matematycznie jednoznaczna i prosta do zapisania, jednak dla większych n wymaga obliczenia wszystkich wcześniejszych elementów ciągu. W naiwnej implementacji rekurencyjnej prowadzi to do wielokrotnego powtarzania tych samych działań. Istnieje jednak wzór jawny, zwany wzorem Bineta, który umożliwia pominięcie etapowego wyznaczania poszczególnych wyrazów i pozwala szybko obliczyć dowolny element ciągu bez potrzeby odwoływania się do poprzednich wartości.

Na czym polega wzór jawny Bineta na n-ty wyraz ciągu?

Wzór Bineta umożliwia wyznaczenie n-tego elementu ciągu Fibonacciego bez potrzeby odwoływania się do wcześniejszych wyrazów. Przyjmuje postać: F_n = (φⁿ, ψⁿ) / √5, gdzie φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887 to tak zwana złota liczba, a ψ = (1 – √5) / 2 ≈ -0,6180339887 stanowi jej algebraiczne sprzężenie. Obie te liczby, φ oraz ψ, są pierwiastkami równania kwadratowego x² = x + 1. Dzięki temu różnica potęg tych wartości zawsze skutkuje liczbą całkowitą, będącą kolejnym wyrazem wspomnianego ciągu.

Przeprowadzone testy w Pythonie potwierdzają, że wzór ten zgadza się z definicją rekurencyjną dla wyrazów od 1 do 15. Na przykład, dla n = 10 otrzymujemy dokładnie 55, co jest zgodne z wartością uzyskaną metodą rekurencyjną. Formuła ta okazuje się szczególnie efektywna, gdy chcemy obliczyć pojedynczy, bardzo odległy element ciągu, ponieważ eliminuje konieczność wyznaczania wszystkich wcześniejszych wyrazów, co znacznie przyspiesza obliczenia. W praktycznym zastosowaniu warto pamiętać o zaokrągleniu uzyskanego wyniku do liczby całkowitej, ponieważ składnik ψⁿ szybko zbliża się do zera, choć nigdy go dokładnie nie osiąga.

Kiedy stosuje się wzór rekurencyjny, a kiedy wzór jawny?

Wzoru rekurencyjnego używamy, kiedy potrzebujemy całej serii kolejnych elementów ciągu Fibonacciego. Sprawdza się on doskonale, na przykład przy stopniowym tworzeniu tabeli wartości czy w dowodach matematycznych opartych na indukcji.

Z kolei wzór jawny, znany również jako wzór Bineta, jest przydatny, gdy zależy nam na szybkim obliczeniu konkretnego, często odległego wyrazu ciągu. Dzięki niemu możemy to zrobić bez konieczności wyznaczania wszystkich wcześniejszych liczb.

W praktyce inżynierskiej i naukowej, gdzie liczy się szybkie pojedyncze obliczenie, wzór Bineta okazuje się bardziej efektywny. Jego złożoność nie rośnie wraz z ilością poprzednich wyrazów. Z kolei w edukacji i przy dowodzeniu właściwości ciągu częściej sięgamy po definicję rekurencyjną, która wiernie odzwierciedla strukturę ciągu jako sumy dwóch poprzednich liczb.

Warto pamiętać, że oba sposoby prowadzą do takich samych wyników liczbowych. Różnią się jedynie metodą uzyskania danego elementu, tę zgodność potwierdzono, analizując pierwsze piętnaście wyrazów ciągu.

Jak obliczyć kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego krok po kroku?

Kolejne liczby w ciągu Fibonacciego powstają poprzez sumowanie dwóch ostatnich elementów i dopisywanie wyniku na końcu. Rozpoczynając od F₁ = 1 oraz F₂ = 1, proces ten kontynuujemy nawet po dziesiątym wyrazie, którym jest 55. Na przykład: F₁₁ = 89, F₁₂ = 144, F₁₃ = 233, F₁₄ = 377 oraz kolejne wyrazy takie jak F₁₅ = 610, F₁₆ = 987, F₁₇ = 1597, F₁₈ = 2584, F₁₉ = 4181 i F₂₀ = 6765. Każdy nowy element wymaga jedynie jednego dodania dwóch poprzednich liczb, co sprawia, że ta metoda jest niezwykle prosta w zastosowaniu. Bez problemu można ją wykonać ręcznie, a także zaimplementować w arkuszu kalkulacyjnym czy dowolnym programie komputerowym. Wyraźnie widać, że różnice między kolejnymi składnikami rosną coraz szybciej, ponieważ ciąg ma charakter wykładniczy, a nie liniowy. Metoda dodawania krok po kroku stanowi praktyczny odpowiednik wzoru rekurencyjnego i najlepiej nadaje się do generowania całej sekwencji, zamiast wyliczania pojedynczych, odległych wyrazów.

Czym różni się rekurencyjne i iteracyjne obliczanie ciągu?

Rekurencyjne liczenie ciągu Fibonacciego w sposób naiwny, bez zapisywania wyników, wielokrotnie powtarza te same obliczenia. W efekcie, przy większych wartościach n, liczba wywołań funkcji rośnie bardzo szybko. Z kolei podejście iteracyjne, wykorzystujące pętlę, wymaga dokładnie n kroków, co jest znacznie bardziej efektywne.

Praktyczne wyliczenia potwierdzają tę różnicę:

• Dla n=20 naiwna rekurencja wykonuje aż 13 529 wywołań,
• Przy n=30 liczba ta wzrasta do 1 664 079,
• A przy n=40 osiąga już 204 668 309.

Metoda iteracyjna z kolei wymaga tylko 20, 30 oraz 40 kroków, liczba operacji rośnie liniowo, nie wykładniczo. Ta rozbieżność wynika z faktu, że naiwna rekurencja stale ponawia obliczenia tych samych, mniejszych wyrazów ciągu, zamiast je zapamiętywać. Rozwiązaniem jest technika memoizacji, czyli przechowywania wcześniej wyliczonych wyników, co eliminuje powtarzające się obliczenia.

Dzięki memoizacji złożoność rekurencyjnego algorytmu spada do poziomu porównywalnego z iteracyjnym. W praktyce więc, gdy potrzebujemy obliczyć duże wartości Fibonacciego, warto sięgnąć po iterację lub rekurencję z zapamiętywaniem wyników. Wykorzystanie naiwnej rekurencji okazuje się nieefektywne.

Jak udowodnić wzór na ciąg Fibonacciego za pomocą indukcji matematycznej?

Dowód poprawności wzoru Bineta metodą indukcji matematycznej opiera się na dwóch zasadniczych etapach: weryfikacji przypadków bazowych oraz wykazaniu, że jeśli formuła działa dla dwóch kolejnych wyrazów, to sprawdza się również dla następnego elementu ciągu. Najpierw, w kroku bazowym, sprawdzamy wzór dla wartości n=1 oraz n=2. Obliczenia potwierdzają, że w obu przypadkach wynik zgadza się z definicją ciągu,F₁ = 1 i F₂ = 1. W dalszej części rozumowania, czyli w kroku indukcyjnym, zakładamy prawdziwość wzoru dla wyrazów n oraz n-1. Na tej podstawie dowodzimy jego poprawność dla n+1. Kluczową rolę odgrywają tutaj złota liczba φ oraz jej sprzężenie ψ, które spełniają to samo równanie kwadratowe: x² = x + 1. W konsekwencji mamy φ² = φ + 1 i ψ² = ψ + 1, co umożliwia przekształcenie sumy Fₙ + Fₙ₋₁ do postaci odpowiadającej Fₙ₊₁. Spełnienie obu etapów dowodu, bazowego oraz indukcyjnego, zapewnia, że wzór Bineta jest poprawny dla każdego naturalnego n. Potwierdza to również zgodność wyników pochodzących z rekurencji oraz formuły jawnej, zwłaszcza dla pierwszych piętnastu wyrazów ciągu. Tę samą metodę indukcyjną stosuje się także przy dowodzeniu innych własności ciągu, na przykład wzoru na sumę początkowych jego elementów.

Jakie są najważniejsze własności matematyczne ciągu Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego kryje w sobie wiele fascynujących własności matematycznych, które wykraczają poza prostą zasadę dodawania poprzednich wyrazów. Na przykład suma pierwszych n elementów tego ciągu zawsze jest równa F(n+2), 1. Dla zobrazowania, suma pięciu początkowych wyrazów wynosi 12, co odpowiada F7 (czyli 13) pomniejszonemu o 1. Z kolei suma dziesięciu pierwszych liczb to 143, to F12 (144) minus jeden.

Ciąg ten wyróżnia się także ciekawymi wzorcami podzielności:

• Co trzeci wyraz jest liczbą parzystą, przykładowo F3 = 2, F6 = 8 oraz F9 = 34,
• Co czwarta liczba w ciągu dzieli się przez 3, co widać na przykładach F4 = 3, F8 = 21 i F12 = 144,
• Co piąty wyraz ma w sobie czynnik 5, jak choćby F5 = 5, F10 = 55 oraz F15 = 610.

Inną interesującą cechą jest zachowanie największego wspólnego dzielnika (NWD) dla dwóch elementów. Okazuje się, że NWD liczb F_m i F_n jest równy Fibonacciemu wyrazowi o numerze będącym NWD ich indeksów. Na przykład, NWD(F12, F18) = NWD(144, 2584) = 8 = F6, przy czym 6 to właśnie NWD liczb 12 i 18. Co więcej, ciąg Fibonacciego rośnie bardzo szybko, zbliżonym tempem do mnożenia przez liczbę złotą na każdym kolejnym kroku. Dzięki tym unikalnym własnościom jest jednym z najczęściej analizowanych obiektów w teorii liczb.

Jaki jest związek ciągu Fibonacciego ze złotym podziałem?

Związek ciągu Fibonacciego ze złotym podziałem polega na tym, że stosunek kolejnych wyrazów ciągu, czyli F_n+1 do F_n, coraz precyzyjniej zbliża się do liczby φ. Ta wartość, wynosząca (1 + √5) / 2, to około 1,6180339887. Przykłady obliczeń dobrze to pokazują: F₂/F₁ wynosi 1,0, następnie F₆/F₅ to już 1,6, a F₁₀/F₉ osiąga 1,61764706. Przy piętnastym wyrazie stosunek ten niemal zrówna się ze złotą liczbą, osiągając wartość 1,61803714. Różnica między tymi ilorazami a φ zmniejsza się systematycznie, od ponad 0,6 dla początkowych wyrazów do mniej niż 0,000004 przy liczbie piętnastu.

Liczba złota to również podstawa wzoru Bineta, który pozwala wyznaczyć dowolny wyraz ciągu Fibonacciego, wykorzystując potęgi φ oraz jej algebraicznego sprzężenia ψ = (1 – √5) / 2. Nie jest to przypadek,φ i ψ to jedyne rozwiązania równania x² = x + 1. Z kolei rekurencyjna definicja ciągu Fibonacciego naturalnie prowadzi do proporcji spełniającej tę właśnie zależność.

Złoty podział, zwany też złotą proporcją, opisuje sposób dzielenia odcinka na dwie części, gdzie:

• Stosunek całej długości do dłuższego fragmentu jest równy stosunkowi tego dłuższego do krótszego,
• To właśnie ta sama liczba φ pojawia się jako granica wartości ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego.

Jakie jest praktyczne zastosowanie ciągu Fibonacciego?

Ciąg Fibonacciego znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak informatyka, nauki przyrodnicze, ekonomia czy sztuka i architektura. W informatyce pomaga między innymi w testowaniu algorytmów rekurencyjnych, a także w tworzeniu struktur danych czy metodach przeszukiwania opartych na dzieleniu zakresu wartości.

W naturze wzory zgodne z ciągiem widoczne są w ułożeniu elementów roślin, na przykład spiralne rozłożenie łusek czy nasion często odzwierciedla ten schemat. Na rynkach finansowych korzysta się z tzw. zniesień Fibonacciego, które bazują na procentowych poziomach powiązanych ze złotą proporcją. Mimo to ich skuteczność jako narzędzi prognostycznych pozostaje tematem dyskusji wśród ekspertów. W obszarze architektury i sztuki elementy zbliżone do złotej liczby wykorzystywane są przy tworzeniu kompozycji, którym przypisuje się estetyczną harmonię. W kolejnych częściach materiału szerzej omówimy, jak ciąg Fibonacciego funkcjonuje w przyrodzie i informatyce.

Gdzie w przyrodzie występuje ciąg Fibonacciego?

Wzory zgodne z ciągiem Fibonacciego często można zauważyć w rozmieszczeniu elementów roślin, które spiralnie układają się wokół łodygi lub tarczy kwiatowej. To zjawisko nazywa się fylotaksją. Na przykład w tarczy kwiatostanu słonecznika nasiona tworzą spiralne szeregi w dwóch przeciwnych kierunkach. Liczby tych spiral zazwyczaj odpowiadają kolejnym wyrazom ciągu Fibonacciego, takim jak 34 i 55 lub 55 i 89

Podobne układy spiralne obserwujemy na łuskach szyszek drzew iglastych, gdzie liczba spiral poruszających się w przeciwne strony często stanowi parę sąsiadujących liczb ciągu, zwykle 8 i 13. Wyjaśnienie tego fenomenu wiąże się z tzw. kątem złotym, określającym kąt rozwinięcia kolejnych elementów rośliny i opartym na proporcji φ. Takie ułożenie sprzyja optymalnemu zagęszczeniu struktur, eliminując nakładanie się ich i dzięki temu roślina może lepiej wykorzystać dostęp do światła czy przestrzeni potrzebnej do wzrostu nasion. Warto jednak zauważyć, że nie wszystkie rośliny prezentują ten wzór równie regularnie. Liczba spiral może różnić się nawet w obrębie jednego gatunku, dlatego zjawisko to traktuje się raczej jako tendencję w świecie roślin niż jako ścisłą, zawsze obowiązującą regułę matematyczną.

Do czego służy ciąg Fibonacciego w informatyce?

W informatyce ciąg Fibonacciego jest często wykorzystywany jako klasyczny przykład do nauki rekurencji, programowania dynamicznego oraz analizy złożoności algorytmów. Przykład naiwnej rekurencji, która wyznacza kolejne elementy, doskonale ilustruje problem powtarzających się obliczeń. Dla wartości n = 30 taka metoda wykonuje ponad 1,6 miliona wywołań funkcji, podczas gdy podejście iteracyjne wymaga jedynie 30 kroków. Stanowi to zazwyczaj punkt wyjścia do omówienia techniki memoizacji, która eliminuje zbędne powtórzenia. Ciąg Fibonacciego znalazł także praktyczne zastosowanie w strukturze danych zwanej kopcem Fibonacciego, wykorzystywanym w niektórych algorytmach operujących na grafach. Kopiec ten pozwala na efektywne zarządzanie koleją priorytetową.

W kontekście analizy algorytmów liczby te pojawiają się również przy oszacowaniu pesymistycznej liczby kroków algorytmu Euklidesa, służącego do wyznaczania największego wspólnego dzielnika. Najgorsze przypadki zachodzą właśnie dla par kolejnych elementów ciągu Fibonacciego.

Ponadto ciąg ten jest wykorzystywany w metodzie wyszukiwania znanej jako wyszukiwanie Fibonacciego. Ta technika stanowi alternatywę dla tradycyjnego wyszukiwania binarnego i jest stosowana, gdy dostęp do danych jest ograniczony lub obarczony specyficznymi warunkami.

Jak zaimplementować ciąg Fibonacciego w języku Python?

Najłatwiejszym sposobem na zaimplementowanie ciągu Fibonacciego w Pythonie jest podejście iteracyjne, polegające na sumowaniu dwóch ostatnich liczb przy pomocy pętli. Dla przykładu, wywołanie funkcji z n=10 zwraca wartość 55, potwierdzając tym samym wynik dziesiątego członu ciągu.

Alternatywnie można skorzystać z wersji rekurencyjnej, która jest krótsza, gdyż funkcja wywołuje samą siebie z argumentami n-1 oraz n-2. Niestety, bez optymalizacji jej efektywność spada znacząco, przy n=30 wykonuje się ponad 1,6 miliona wywołań. Z kolei iteracyjne podejście wymaga jedynie 30 kroków pętli. Problem ten rozwiązuje dekorator lru_cache z modułu functools, który automatycznie cache’uje poprzednio wyliczone wyniki. Dzięki temu rekurencyjna funkcja działa znacznie szybciej, osiągając liniową złożoność czasową.

Jeszcze inną opcją jest zastosowanie wzoru Bineta, który wykorzystuje funkcję pierwiastka kwadratowego z modułu math. Ten sposób pozwala wyliczyć dowolny pojedynczy element ciągu bez używania pętli czy rekurencji. Przykładowo, dla n=10 otrzymujemy dokładnie 55,0 po zaokrągleniu.

Wybór konkretnej metody zależy od tego, czego potrzebujemy. Iteracja i memoizacja najlepiej sprawdzają się przy generowaniu całej serii, natomiast wzór Bineta jest doskonały do błyskawicznego obliczenia odległego wyrazu ciągu.